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Harold Mollin Biografía y Hechos

En teoría de números, un número de Heegner (como lo llaman Conway y Guy) es un entero positivo sin cuadrados d {\displaystyle d} tal que el campo cuadrático imaginario Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} tiene número de clase 1 {\displaystyle 1} . De manera equivalente, su anillo de enteros posee una factorización única.[1]​ La determinación de tales números es un caso especial del problema del número de clase, con varios resultados sorprendentes en la teoría de números. De acuerdo con el teorema de (Baker-)Stark-Heegner, hay exactamente nueve números de Heegner: 1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 1,2,3,7,11,19,43,67,163} . (sucesión A003173 en OEIS) Gauss conjeturó este resultado y Kurt Heegner lo demostró con algunos defectos menores en 1952. Alan Baker y Harold Stark probaron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que el defecto en la prueba de Heegner era menor.[2]​ El polinomio de generación principal de Euler El polinomio de generación principal de Euler n 2 − n + 41 , {\displaystyle n^{2}-n+41,\,} que da primos (distintos) para n = 1, ..., 40, está relacionado con el número 163 de Heegner   =   4 · 41 - 1) La fórmula de Euler, con n {\displaystyle n} tomando los valores entre 1, ... 40 es equivalente a n 2 + n + 41 , {\displaystyle n^{2}+n+41,\,} con n {\displaystyle n} tomando los valores 0, ... 39. Rabinowitz[3]​ demostró que n 2 + n + p {\displaystyle n^{2}+n+p\,} da primos para n = 0 , … , p − 2 {\displaystyle n=0,\dots ,p-2} si y solo si su discriminante 1 − 4 p {\displaystyle 1-4p} es el negativo de un número de Heegner. (Téngase en cuenta que si p − 1 {\displaystyle p-1} produce p 2 {\displaystyle p^{2}} , entonces p − 2 {\displaystyle p-2} es un máximo). 1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 7,11,19,43,67,163} , produciendo funciones generadoras principales de la forma de Euler para 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 41 {\displaystyle 2,3,5,11,17,41} ; estos últimos números fueron denominados números afortunados de Euler por el matemático F. Le Lionnais.[4]​ Casi enteros y la constante de Ramanujan La constante de Ramanujan es el número trascendental e π 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}} , que es un casi entero, ya que está muy cerca de un entero: e π 163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 … {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots } [5]​ ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.} Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite.[6]​ En un artículo de 1975 de April Fool en la revista Scientific American,[7]​ el columnista de la sección "Juegos matemáticos" Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujanlo había predicho, y de ahí su nombre. Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del j-invariante. Detalle Brevemente, j ( ( 1 + − d ) / 2 ) {\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)} es un entero cuando d es un número de Heegner, y e π d ≈ − j ( ( 1 + − d ) / 2 ) + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744} a través de la q- expansión. Si τ {\displaystyle \tau } es un irracional cuadrático, entonces el j- invariante es un entero algebraico de grado | Cl ( Q ( τ ) ) | {\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|} , el número de clase de Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} y el polinomio mínimo (entero mónico) que lo satisface se llama 'polinomio de clase de Hilbert'. Así, si la extensión cuadrática imaginaria Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} tiene la clase número 1 (ento.... Descubre los libros populares de Harold Mollin. Encuentra los 100 libros más populares de Harold Mollin