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Z N Singer Biografía y Hechos

En geometría diferencial, el teorema del índice de Atiyah-Singer, demostrado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963,[1]​ afirma que para un operador diferencial elíptico en una variedad cerrada, el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos). Incluye como casos especiales a muchos otros teoremas, como el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el teorema de Riemann-Roch. Tiene aplicaciones en física teórica.[2]​ Historia El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado por Izrail Guelfand.[3]​ Se dio cuenta de la invariabilidad homotópica del índice, y pidió una fórmula para él mediante invariantes topológicos. Algunos de los ejemplos motivadores fueron el teorema de Riemann-Roch y su generalización el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, y el teorema de la firma de Hirzebruch. Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían demostrado la integrabilidad del  género de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integrabilidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961). El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963.[1]​ La demostración esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro de Palais.[4]​ También aparece en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64"[5]​ que se celebró en París simultáneamente con el seminario dirigido por Richard Palais en la Universidad de Princeton. La última charla en París fue la de Atiyah sobre las variedades con límite. Su primera prueba publicada[6]​ sustituyó la teoría del cobordismo de la primera prueba por la K-teoría, y la utilizó para dar pruebas de varias generalizaciones en otra secuencia de trabajos.[7]​ 1965: Sergey P. Novikov publicó sus resultados sobre la invariancia topológica de las clases de Pontryagines racionales en las variedades lisas.[8]​ Los resultados de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann,[9]​ combinados con el trabajo de René Thom demostraron la existencia de clases racionales de Pontryagin en variedades topológicas. Las clases racionales de Pontryagin son ingredientes esenciales del teorema del índice en las variedades lisas y topológicas. 1969: Michael Atiyah definió los operadores elípticos abstractos en espacios métricos arbitrarios. Los operadores elípticos abstractos se convirtieron en protagonistas de la teoría de Kasparov y de la geometría diferencial no conmutativa de Connes.[10]​ 1971: Isadore Singer propuso un programa completo para futuras extensiones de la teoría de índices.[11]​ 1972: Gennadi G. Kasparov publicó su trabajo sobre la realización de la K-homología mediante operadores elípticos abstractos. 1973: Atiyah, Raoul Bott, y Vijay Patodi dieron una nueva prueba del teorema del índice[12]​ utilizando la ecuación del calor, descrita en un trabajo de Melrose.[13]​ 1977: Dennis Sullivan estableció su teorema sobre la existencia y unicidad de estructuras de Lipschitz y cuasiconformes en variedades topológicas de dimensión diferente a 4.[14]​ 1983: Ezra Getzler[15]​ motivado por las ideas de Edward Witten[16]​ y Luis Álvarez Gaumé, dio una breve demostración del teorema del índice local para operadores que son localmente operadores de Dirac; esto cubre muchos de los casos útiles. 1983: Nicolae Teleman demostró que los índices analíticos de los operadores de firma con valores en haces vectoriales son invariantes topológicos. 1984: Teleman estableció el teorema del índice en las variedades topológicas. 1986: Alain Connes publicó su artículo fundamental sobre geometría no conmutativa.[17]​ 1989: Simon K. Donaldson y Sullivan estudiaron la teoría de Yang-Mills en variedades cuasiconformes de dimensión 4. Introdujeron el operador de firma S definido en formas diferenciales de grado dos.[18]​ 1990: Connes y Henri Moscovici demostraron la fórmula del índice local en el contexto de la geometría no conmutativa. 1994: Connes, Sullivan y Teleman demostraron el teorema del índice para operadores de firma en variedades cuasiconformes. Notación X es una variedad suave compacta. (sin borde). E y F son un fibrado vectorial suave sobre X D es un operador diferencial elíptico de E a F. Así que en coordenadas locales actúa como un operador diferencial, llevando secciones suaves de E a secciones suaves de F. Símbolo de un operador diferencial Si D es un operador diferencial sobre un espacio euclidiano de orden n en k variables x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} , entonces su símbolo es la función de 2k variables x 1 , … , x k , y 1 , … , y k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}} dada por la eliminación de todos los términos de orden inferior a n y la sustitución de ∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} by y i {\displaystyle y_{i}} . Así que el símbolo es homogéneo en las variables y, de grado n. El símbolo está bien definido aunque ∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} no conmuta con x i {\displaystyle x_{i}} porque mantenemos sólo los términos de mayor orden y los operadores diferenciales conmutan "hasta los términos de orden inferior". El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos un y sea distinto de cero. Ejemplo: El operador de Laplace en k variables tiene símbolo y 1 2 + ⋯ + y k 2 {\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}} y por lo tanto es elíptica ya que esta es distinta de cero siempre que cualquiera de las y i {\displaystyle y_{i}} sean distintas de cero. El operador de onda tiene el símbolo − y .... Descubre los libros populares de Z N Singer. Encuentra los 100 libros más populares de Z N Singer