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En matemáticas, un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo en el cual la operación interna satisface la propiedad conmutativa, esto es, que el resultado de la operación es independiente del orden de los argumentos. De manera más formal, un grupo ( G , ∘ ) {\displaystyle (G,\circ )} es abeliano cuando, además de los axiomas de grupo, se satisface la siguiente condición g ∘ h = h ∘ g {\displaystyle g\circ h=h\circ g} , para cualquier par de elementos g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} . Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por radicales.[1]​ Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos o no conmutativos. Los grupos abelianos son la base sobre la que se construyen estructuras algebraicas más complejas como los anillos y cuerpos, los espacios vectoriales o los módulos. En teoría de categorías, los grupos abelianos son el objeto de estudio de la categoría Ab. Definición Un grupo abeliano es un conjunto A {\displaystyle A} , junto con una operación ⋅ {\displaystyle \cdot } que combina dos elementos cualesquiera a {\displaystyle a} y b {\displaystyle b} de A {\displaystyle A} para formar otro elemento de A , {\displaystyle A,} denotado a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} . El símbolo ⋅ {\displaystyle \cdot } es un marcador de posición general para una operación concreta. Para calificar como grupo abeliano, el conjunto y la operación, ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} , deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo abeliano (algunos autores incluyen en los axiomas algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: A saber, que la operación esté definida para cualquier par ordenado de elementos de A, que el resultado sea Bien definido, y que el resultado pertenezca a A): Asociatividad Para todo a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , y c {\displaystyle c} en A {\displaystyle A} , se cumple la ecuación ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} . Elemento de identidad Existe un elemento e {\displaystyle e} en A {\displaystyle A} , tal que para todos los elementos a {\displaystyle a} en A {\displaystyle A} , se cumple la ecuación e ⋅ a = a ⋅ e = a {\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a} . Elemento inverso Para cada a {\displaystyle a} en A {\displaystyle A} existe un elemento b {\displaystyle b} en A {\displaystyle A} tal que a ⋅ b = b ⋅ a = e {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e} , donde e {\displaystyle e} es el elemento identidad. Conmutatividad Para todo a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} en A {\displaystyle A} , a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} . Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo".[2]​: 11  Notación Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación. La notación multiplicativa es la notación usual en teoría de grupos, mientras que la aditiva es la notación usual en el estudio de anillos, módulos y espacios vectoriales, en los que hay una segunda operación. Es corriente también usar la notación aditiva cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, como en el caso del álgebra homológica. Tabla de multiplicación Para verificar que un grupo finito es abeliano, se puede construir una tabla (matriz) -conocida como tabla de Cayley- de manera similar a una tabla de multiplicación.[3]​: 10  Si el grupo es G = { g 1 = e , g 2 , ⋅ , g n } {\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\cdot ,g_{n}\}} bajo la operación ⋅ {\displaystyle \cdot } , la ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -ésima entrada de esta tabla contiene el producto g i ⋅ g j {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}} . El grupo es abeliano si y sólo si esta tabla es simétrica respecto a la diagonal principal. Esto es cierto ya que el grupo es abeliano iff g i ⋅ g j = g j ⋅ g i {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}} para todo i , j = 1 , . . . , n {\displaystyle i,j=1,...,n} , que es si la entrada .... Descubre los libros populares de Elias Zakon. Encuentra los 100 libros más populares de Elias Zakon